☛ ** Trois points sont-ils alignés ?

Énoncé
Dans un repère orthonormé, on considère les points \(\text{A}(-5;2)\), \(\text B(3;-4)\) et \(\text C (15;-13)\).
Les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) sont-ils alignés ?

Solution
Dire que les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) sont alignés revient à dire que le point \(\text C\) appartient à la droite \((\text{AB})\).
Le vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 8\\ -6\\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \((\text{AB})\).
Ainsi, il existe un réel \(c\) tel que \(-6x-8y+c=0\) est une équation cartésienne de la droite \((\text{AB})\).

Or, \(\text A \in (\text{AB})\) donc le réel \(c\) vérifie \(-6 \times (-5) - 8 \times 2 + c =0\) soit \({c=-14}\).
Donc une équation cartésienne de la droite \((\text{AB})\) est  \(-6x-8y-14=0\) e

On a \(-6 \times 15 - 8 \times (-13) -14 =0\). Donc \(\text{C}(15;-13) \in (\text{AB})\).

Donc  les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) sont alignés.